해피레포트 - 디지털 신호처리

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보고서설명
이번 프로젝트는 입력이 non-causal unit step function 일 때, 출력이 causal하고 stable한 IIR 시스템을 설계하는 것이다. 또 한 이 시스템의 임펄스함수와 pole-zero plot의 위치를 분석하고 time-domain과 frequency-domain 에서 시스템이 안정적일 조건을 분석하는 것이다.

본문일부/목차
1.설계 목표 이번 프로젝트는 입력이 non-causal unit step function 일 때, 출력이 causal하고 stable한 IIR 시스템을 설계하는 것이다. 또 한 이 시스템의 임펄스함수와 pole-zero plot의 위치를 분석하고 time-domain과 frequency-domain 에서 시스템이 안정적일 조건을 분석하는 것이다. 2. convolution 간단히 convolution의 의미에 대해 말하자면 시스템에 메모리가 있는 경우 한 시스템의 출력이 현재 입력에 의해서만 결정되는 것이 아닌 이전 입력 (causal system 이라면)에 의해서도 영향을 받기 때문에 그에 대한 출력을 나타내기 위해 하는 연산이다. 예를 들어 종을 LTI(Linear Time Invariant) 시스템 이라 가정한다면 종을 한번 치면 그 소리가 치는 순간만 나는 게 아니라 치는 순간에 소리가 크게 났다가 점점 소리가 감쇠되며 작아진다. 그림1. 종을 한번 쳤을 때 그림1 의 경우와 같다. 종을 한번 탕 치는 것을 impulse입력이라 하고 한번 종을 쳤을 때 나는 소리를 삼각형으로 나타냈다. 종을 한번 치고 다시 치면 어떨까 ? 그림 2. 종을 한번 치고 다시 쳤을 때 그림 2의 경우는 종을 치고 잠시 후 이전보다 약하게 친 경우이다. 이 때 종소리를 Linear system으로 가정했기 때문에 이전에 입력에 의해 나고 있는 소리에 현재 입력에 의해 나는 소리가 더해져 나타난다. 그리고 이것은 impulse 입력과 종소리의 covolution과 같은 결과가 나올 것이다. 따라서 convolution은 한 LTI 시스템에 대해 현재와 이전의 입력에 대한 출력을 계산하기 위해 수행하는 것이다. 그림을 보면 왜 컨볼루션을 할 때 system이나 입력중 하나를 반전시켜야 하는지에 대해 알 수 있다. 입력을 반전시키지 않으면 처음에 종을 약하게 치고 후에 세게 친 것과 같은 결과 한 시스템에 시간적으로 앞선 입력을 먼저 넣고 그 후에 시간적으로 나중에 발생한 입력을 넣어야 올바른 출력을 얻을 수 있기 때문에 시간적으로 앞선 입력을 먼저 넣기 위해 입력을 반전시키거나 시스템을 반전시키는 것이다. 그래서, 입력의 반전이 필요하다. 종소리 impulse 시간 반전 첫 번째 impulse 두 번째 impulse IIR필터를 구현하기 위해 주어진 조건 입력신호x[n]은 비 인과성인 단위 계단함수 이어야한다. 즉, x[n]은 위와 같이 가정하고 출력신호의 조건을 살펴보면 ‘stable’하고 ‘인과적’이어야 한다. 이 때 구현하고자 하는 필터h[n]은 causal한 형태가 되어야 할 것이다. 3. 필터 설계 3.1. IIR 필터 IIR Filter는 Digital Filter의 한 종류로 입력신호의 값과 출력신호의 값이 재귀적으로 (Recursive, feedback) 적용되어 Filtering을 수행한다. 따라서 구현식의 반복식이 되며 특성함수인 Impulse Response는 무한한 길이를 갖는다.

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