해피레포트 - [수학교육] 교사를 위한 수학사

카테고리 : 레포트 > 사회과학계열 파일이름 :교사를_위한_수학사.hwp 문서분량 : 30 page 등록인 : commander03 문서뷰어 : 한글뷰어프로그램 등록/수정일 : 08.01.25 / 08.01.25 구매평가 : 다운로드수 : 4 판매가격 : 900 원

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보고서설명
교사를 위한 수학사

본문일부/목차
Ⅰ. 들어가며 인류의 문명과 더불어 수학은 시작되었다. 수로써 우주의 원리를 설명하려 했던 피타고라스 이전부터 자연을 이해하고 설명하려는 시도에서 수학개념이 나오게 된 것이다. 4대 문명지에서 인류의 역사가 시작되면서 그 지역을 중심으로 수학의 싹이 돋아나기 시작했다. 4대 문명지와 더불어 있는 강들의 잦은 범람으로 토지를 측량해야 했고, 여러 사람이 모여 살다보니 토지에서 생산되는 곡물의 양을 예상해서 세금을 내도록 해야했다. 이러한 삶의 필요에 의해서 수학은 탄생되었고, 다양한 수학 분야 중에서도 특히 기하학의 발달이 먼저 이루어 졌다. 고대인들에게는 무엇보다도 토지 측량과 건축에 사용되는 지식이 필요했을 것이다. 그들은 삼각형, 사각형, 원에 대해 연구했고, 그러한 도형에 대한 연구는 도형 자체에 대한 연구라기보다는 하나 하나의 구체적인 도형의 성질을 파악하는데 만족하는 정도였다. 즉, 세 변의 길이가 3, 4, 5인 삼각형은 직각삼각형이 된다는 사실을 알고 이를 이용해서 건축에 필요한 90°를 찾아냈지만 더 이상의 일반화를 이루지 못했다. 이렇듯 실용 중심적이었던 지식이 그리스로 스며들면서 더 이상 낱개의 지식이 아닌 학문으로 자리 잡게 된다. 세 변의 길이가 3, 4, 5일 때 뿐만 아니라, 특정한 조건을 만족하기만 하면 직각삼각형이 된다는 사실을 밝혀내었고, 이를 기하적으로 정리하였다. 피타고라스 정리는 우리가 알고있듯이 “직각삼각형의 빗변의 길이의 제곱은 다른 두 변의 길이의 제곱의 합과 같다.”라는 형식으로 진술된 것이 아니라, “직각삼각형의 빗변을 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는 다른 두 변을 한 변으로 하는 두 정사각형의 넓이의 합과 같다.”라는 식으로 진술되었다. 그리고 대수적인 문제들도 지금은 이해하기 힘든 기하 문제로 변형시켜 풀었던 것으로 미루어 보아 수학의 분야 중 기하가 가장 먼저 세인의 관심을 받고 일찍이 학문으로 자리잡은 것을 알 수 있다. 이러한 기하학에 대한 연구는 유클리드에 이르러 거의 완벽한 모습으로 거듭난다. 기원전 4세기경 유클리드가 [원론]을 저술한 이 후 18세기에 이르기까지 유클리드 기하학이 기하학의 전부였다고 할 수 있다. 그러다가 기호와 좌표평면의 절묘한 만남으로 해석기하학이, 유클리드의 제5 공준에 의해 쌍곡기하학과 타원기하학 같은 비유클리드 기하학이 만들어졌고, 벡터 기하학, 위상 기하학, 프랙탈 기하학 등 새로운 기하학들이 탄생하였다. 우리의 교과서는 이러한 기하학의 발달에 따라 구성되어있다. 중학교에서는 평면기하와 논증기하 등 유클리드 기하를 배우고, 고등학교에서는 해석기하와 벡터기하를 배운다. 그리고, 대학교에 진학하여 수학을 계속 공부할 경우에 비유클리드 기하학, 위상기하학 등에 대해서 배운다. 기하학을 대할 때면 그 재능을 너무 일찍 꽃피워 더 이상 성장하지 못하고 있는 천재를 대하는 느낌이 든다. 수의 역사만 보아도 분수가 탄생한 지 3000년이 지나서야 소수가 등장하고, 음수가 수로써 인정받기 위해서도 1500년 동안의 냉대를 버텨내야 하는 아픔이 있었다. 반면, 기하학은 이미 기원전 4세기에 유클리드에 의해 체계적으로 정리되었다. 뿐만 아니라, 그 체계가 너무도 튼튼하여 음수나 소수의 역사에서 보여지는 에피소드 같은 것을 찾기도 힘들다. 물론 여러 분야의 기하학이 새로이 탄생하고 발전하기는 했지만 그 기하학이라는 것이 수학을 공부하는 사람도 이해하기 어려운 난해한 내용이라, 보통의 사람들로 하여금 ‘이렇게 쉬운 내용도 그 당시에는 이해하지 못했다니’ 싶은 수학의 틈을 발견하기가 쉽지 않다. 이러한 기하의 특성 때문인지 기하를 지도할 때, 수학사를 도입하는 일이 쉽지 않다. 1학년에 나오는 도형의 관찰 단원에서는 그나마 여러 가지 구체물을 조작하고 활동지를 풀어보지만, 그것만으로는 무언가 부족한 감이 있다. 기하학의 역사적 배경은 무엇이고 최초의 기하학적 시도는 무엇이었을까? 지금의 논증기하의 유래는 어디에서 찾아야 하며 결과적으로 왜 우리가 기하학을 공부해야 하는지를 수학사를 통해 살펴보려고 한다. 또한 수학사를 단순히 지금보다 이전에 있었던 일들로 국한하지 않고, 현재 우리 일상생활 속에 있는 기하도 수학사 범위 안에 포함시켰다. 작도와 같이 무의미하게 여겨지는 기하적 작업이 과연 어떠한 의미를 지니고 있는지 , 우리의 일상생활에 편재해 있는 도형들에는 어떠한 의미가 숨어있는지 살펴보고, 중학교 기하 단원에서 활용할 수 있는 수학사를 정리해 보았다. Ⅱ. 기하학의 출발 1. 그리스 이전의 ‘기하학’? 그리스 이전의 도형개념은 BC 3000년경부터 4대 문명지를 중심으로 발달하기 시작하였다. geometry(기하학)라는 낱말의 어원이 geo(토지) + metry(측량)였다는 사실에서도 알 수 있듯이 기하학은 농업생산과 관계가 있는 경험적인 지식이었다. 일반적인 원리를 세운 후 이 원리를 구체적인 경우에 적용하는 연역적인 방법보다도 구체적인 상황에서 출발하여 오랜 경험에 의해 법칙을 찾아내는 귀납적인 태도를 취하고 있었던 것이다. 실용적인 목적을 위해서 어림셈으로 도형의 길이, 넓이, 부피 등을 다루었기 때문에 때로는 엉뚱한 답이 나올 수도 있었다. 예를 들어 이집트의 《아메스 파피루스》엔 이등변삼각형의 넓이를 (밑변의 반의 길이)×(빗변의 길이) 와 같이 셈하였으며, 중국의 구장산술(九章算術)》에선 활꼴의 넓이를 사다리꼴로 간주하여 셈하였다. 물론 이렇게 엉뚱한 계산을 하였다하여 이 시대의 수학적 수준이 낮았던 것은 아니었다. 수학이 시대라든지 사회

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