해피레포트 - 수학의 7대 밀레니엄 과제(리만가설)

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이중섭 (아주대학교) 이 글은 2000년 3월자 대한수학회 소식 76호에 실린 글입니다. 1859년 리만(Riemann)은 소수에 관한, 8쪽의 짧은 논문을 발표하였다. 리만의 유일한 수론 논문이지만, 다른 어떤 논문보다도 수론과 복소수 함수론에 심대한 영향을 주었다. 그 논문에서 리만은 리만 제타 함수(zeta function)의 중요한 성질들을 기술하고, 당시에 최대의 미해결 문제였던 소수 정리의 증명방법을 제시하였다. 그 후 약 30년 동안 복소수 함수론을 발전시킨 결과, 아다마르(Hadamard)와 발레뿌셍(de la Vallee Poussin)이 소수 정리를 증명함으로써 결실을 맺게 된다. 그의 논문에서 리만이 주장한 제타 함수에 대한 사실들은 한 가지를 제외하고 모두 후에 엄격하게 증명되었다. 그것은 제타 함수의 영점의 위치에 대한 추측인데, 그 스스로도 증명에 성공하지 못했다고 고백하고 있다. 후에 이 추측은 리만 가설(Riemann Hypothesis)이란 이름을 얻게 되었고, 아직까지 그 해결을 기다리고 있다. 2000년 5월 24일 클레이 수학연구소는 리만 가설을 포함하여 백만 달러 현상금 문제 7개를 발표하였다. 서울대학교에서는 12월 "새 천년 수학문제 소개회"를 열어 그 중 4문제를 소개하였다. 거기서 필자가 행한 강연 내용을 바탕으로 이 글은 구성되었다. 학부 신입생도 이해할 수 있는 수준의 강연을 하는 것이 목표였으나, 주제의 특성상 복소수 함수에 대한 약간의 지식을 가정할 수 밖에 없었다. 강연내용을 재구성하다 보니 다소 엄밀성이 부족한 점에 대하여 독자의 양해를 구한다. 이 글을 쓰는데 조언을 주신 세종대 김영원 교수께 감사드린다. 리만 제타 함수 해석적 수론에서는 관례적으로 복소수를 s로 표시하며, 그것의 실수 부분은 σ, 허수부분을 t로 표시한다. 즉, s = σ + it이다. 리만 제타 함수는 아래와 같이 급수로 표현되는 복소수 함수이다. ζ(s) = ∞ ∑ n = 1 1 ns 물론 이것은 σ > 1일 때 정의되는 해석 함수(analytic function)이다. 지금부터 이 글의 마지막 절 이전까지, 제타 함수는 리만 제타 함수를 뜻하는 것으로 한다. 제타 함수에 대한 연구는 오일러(Eular)까지 거슬러 올라간다. 그는 제타 함수가 다음과 같은 곱셈공식(product formula)을 만족함을 관찰하였다. ζ(s) = ∏ p (1 - 1 ps )-1 여기서 곱은 모든 소수 p에 관한 것이다. 그는 또한 ∑ p 1 p = ∞ 임을 보였는데 이것은 소수의 개수는 무한하다는 유클리드(Euclid) 정리의 새로운 증명이다. 오일러의 작업의 중요한 의미는 제타 함수가 소수의 분포와 관련되어 있다는 사실의 발견이며, 이것은 해석학적 수론의 기원이라고 말할 수 있다. 소수의 분호에 대한 더욱 깊은 결과를 얻기 위하여, 제타 함수의 정의역을 σ > 1인 반 평면보다 더욱 넓은 영역으로 확장할 필요가 있다. 여기서는 비교적 손쉬운 방법 두 가지를 소개한다. 간단한 대수적 조작을 하면 ζ(s) = 1 1 - 21 - s ∞ ∑ n = 1 (-1)n - 1

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